Question

3．甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：
班级与成绩列联表

	优秀	不优秀	总计
甲队	80	40	120
乙队	240	200	440
合计	320	240	560

（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系；
（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系；
（Ⅱ）确定ξX的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意得K²=$\frac{560×（80×200-40×240）^{2}}{120×440×320×240}$≈5.657＞5.024，
∴能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系．…（3分）
（Ⅱ）16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人…..…（4分）
X的可能取值为0，1，2，3…..…（5分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{11}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{33}{70}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{9}{70}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{140}$
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$

…..…（10分）
∴EX=0×$\frac{11}{28}$+1×$\frac{33}{70}$+2×$\frac{9}{70}$+3×$\frac{1}{140}$=$\frac{3}{4}$…..…（12分）

点评 本题主要考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．