Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线x-

3

y+2=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心是（x₀，0）（x₀＞0），由直线x-

3

y+2=0于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求x₀，进而可求圆C的方程
（2）把点M（m，n）代入圆的方程可得，m，n的方程，结合原点到直线l：mx+ny=1的距离h＜1可求m的范围，根据弦长公式求出AB，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值

解答：解：（1）设圆心是（x₀，0）（x₀＞0），它到直线x-

3

y+2=0的距离是d=

|x0+2|

1+3

=2，
解得x₀=2或x₀=-6（舍去）…（3分）
∴所求圆C的方程是（x-2）²+y²=4…（4分）
（2）∵点M（m，n）在圆C上
∴（m-2）²+n²=4，n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4…（6分）
又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离h=

1

m2+n2

=

1

4m

＜1…（8分）
解得

1

4

＜m≤4…（10分）
而|AB|=2

1-h2

∴S△OAB=

1

2

|AB|•h=

h2-h4

=

1 4m -( 1 4m )2

=

-( 1 4m - 1 2 )2+ 1 4

…（11分）
∵

1

16

≤

1

4m

＜1…（12分）
∴当

1

4m

=

1

2

，即m=

1

2

时取得最大值

1

2

，
此时点M的坐标是(

1

2

，

7

2

)与(

1

2

，-

7

2

)，面积的最大值是

1

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力