Question

当α∈（0，π）时，方程x²cosα+y²=1表示的曲线的形状怎样变化？

Answer 1

分析：根据cosα符号，对角α分三类进行讨论，由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．

解答：解：由题意可得：
①当0＜α＜

π

2

时，方程x²cosα+y²=1可以化简为：

x2

1 cosα

+y2=1．
并且有：0＜cosα＜1，则

1

cosα

＞1，所以方程x²cosα+y²=1表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；
②当α=

π

2

时，cosα=0，方程为x²=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；
③当

π

2

＜α＜π时，方程x²cosα+y²=1可以化简为：

x2

1 cosα

+y2=1．
并且有：cosα＜0，方程x²cosα+y²=1表示焦点在y轴上的双曲线．

点评：本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想