题目内容
（2011•普宁市模拟）已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，
）时，f（x）=sinπx，f（
）=
，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（ ）
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分析：要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，
）时f（x）=sinπx，我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．
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解答：解：∵当x∈（0，
）时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[-
，
]上，
f（-1）=f（1）=0，
f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，2，3，4，5，6．
共7个．
故选C．
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令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[-
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f（-1）=f（1）=0，
f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，2，3，4，5，6．
共7个．
故选C．
点评：若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为5个，若区间为半开半闭区间，则答案为6个，故要注意对端点的分析．
练习册系列答案
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