题目内容
【题目】已知椭圆
经过点
，离心率为
，过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，
（1）求椭圆的方程；
（2）求
的取值范围；
（3）设直线
和
的斜率分别为
和
，求证:
为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
（1）根据离心率和
代入椭圆方程可求得
和
，进而求得
，方程可得；
（2）由题意显然直线
方程为
，联立直线与椭圆的方程
消去
得
.因为直线与椭圆
交于不同的两点
，
，∴
，可得
，再用坐标表示出
，即可求取值范围.
（3）由（2）用坐标表示出
化简即可.
（1）由题意得
，解得
，
.∴椭圆的方程为.
（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.
∵直线与椭圆交于不同的两点，，
∴
，解得.
设，的坐标分别为
，
，则
，
，
又
，
，
，
∵，∴
，
∴的范围为
.
（3）由（2）得
所以为定值，
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