Question

【题目】已知点在椭圆： 上， 是椭圆的一个焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆C上不与点重合的两点， 关于原点O对称，直线， 分别交轴于， 两点．求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到，利用定义得到，即可求解椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设， ，根据直线方程，求解的坐标，可得，利用 ，求得的值，即可得到弦长为定值．

试题解析：

（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为，且．

因为，

所以， ，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：由题意可知， 两点与点不重合．

因为， 两点关于原点对称，

所以设， ， ．

设以为直径的圆与直线交于两点，

所以．

直线： ．

当时， ，所以．

直线： ．

当时， ，所以．

所以， ，

因为，所以，

所以．

因为，即， ，

所以，所以．

所以， ， 所以．

所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．