Question

（2013•湛江一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求三棱锥C-GBF的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABE，可得BC⊥AE．再利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE；
（2）利用矩形的性质可得AG=GC，利用等腰三角形的性质可得EF=FC，再利用线面平行的判定定理可得AE∥平面BFD．
（3）由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，FG=

1

2

AE=1．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE．再利用“等体积变形”即可得出V_C-GBF=V_G-BCF计算出即可．

解答：证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE．
又∵AE⊥EB，EB∩BC=B，∴AE⊥平面BCE；
（2）∵G是矩形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴AG=GC．
在△EBC中，∵EB=BC，BF⊥CE，∴EF=FC．
∴FG∥AE．
又FG?平面BFD，AE?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（3）解：由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，FG=

1

2

AE=1．
∵AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE．
Rt△BCE中，EB=BC=2，F是EC的中点，
∴S△BCF=

1

2

S△BCE=

1

2

×

1

2

×22=1，
∴V_C-GBF=V_G-BCF=

1

3

×GF×S△BCF=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题中考查了线面平行于垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理、三棱锥的体积计算公式及“等体积变形”等基础知识和基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．