题目内容

某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%．估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%．
（Ⅰ）设第n年（2010年为第一年）的投入资金为an万元，投资回报收入为bn万元，求an和bn的表达式；
（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？
分析：（Ⅰ）根据题意可知年投入的资金依次成首项为800万元，公比为
4
5
的等比数列，每年的投资回报收入依次成首项为400万元，公比为
5
4
的等比数列．进而利用等比数列的通项公式求得an和bn．
（Ⅱ）设经过n年的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，进而根据等比数列的求和公式分别求得Sn和Tn．进而根据Tn-Sn＞0进而可得5•(
4
5
)n+2•(
5
4
)n-7＞0求得n的范围．
解答：解：（Ⅰ）据题意，每年投入的资金依次成首项为800万元，公比为
4
5
的等比数列，每年的投资回报收入依次成首项为400万元，公比为
5
4
的等比数列．
所以an=800•(
4
5
)n-1，bn=400•(
5
4
)n-1．
（Ⅱ）设经过n年的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，则Sn=
800[1-(
4
5
)n]
1-
4
5
=4000[1-(
4
5
)n]，Tn=
400[1-(
5
4
)n]
1-
5
4
=1600[(
5
4
)n-1]．
由Tn-Sn＞0，得1600((
5
4
)n-1)-4000(1-(
4
5
)n)＞0，即5•(
4
5
)n+2•(
5
4
)n-7＞0．
设x=(
4
5
)n，代入上式整理得，5x2-7x+2＞0，解得x＜
2
5
或x＞1（舍去）．
当n=4时，(
4
5
)n=
256
625
＞
2
5
；当n=5时，(
4
5
)n=
1024
3125
＜
2
5
．
因为y=(
4
5
)n是减函数，所以当n≥5时，有(
4
5
)n＜
2
5
成立，从而Tn-Sn＞0成立．
答：从2014年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入．
点评：本题主要考查了数列的实际应用，涉及了等比数列的通项公式，求和公式．综合性很强．
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(本小题满分13分)

某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少.估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加.

（Ⅰ）设第年(2010年为第一年)的投入资金为万元，投资回报收入为万元，求和的表达式；

（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？
某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%．估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%．
（Ⅰ）设第n年（2010年为第一年）的投入资金为an万元，投资回报收入为bn万元，求an和bn的表达式；
（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？
某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%．估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%．
（Ⅰ）设第n年（2010年为第一年）的投入资金为an万元，投资回报收入为bn万元，求an和bn的表达式；
（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？

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