题目内容

16．如图，两圆相交，过一交点A引两圆的直径AC、AB，交两圆于E、F，过B、E及C、F的直线交两圆于P、Q、R、S．求证：P、S、Q、R四点共圆．

分析 设BE、CF相交于H，证明PH•HQ=SH•HR，即可证明P、S、Q、R四点共圆．

解答 证明：设BE、CF相交于H，
由B、C、E、F共圆得BH•HE=CH•HF，
由相交弦定理，得BH•HE=SH•HR，CH•HF=PH•HQ，
∴PH•HQ=SH•HR，
∴P、S、Q、R四点共圆．

点评 本题考查P、S、Q、R四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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6．如图，有一张长为16，宽为8的矩形纸片ABCD，以EF为折痕（E在边AB上，F在边BC或CD上），使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′，过B′作B′T∥CD交EF于T点，则T点的轨迹所在的曲线是（　　）
A．双曲线的一支B．椭圆C．抛物线D．直线
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-4）2+（y-5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y-1）2=4
（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l2的方程；
（3）直线l3的方程是x=$\frac{5}{2}$，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．
4．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点F，过焦点F的直线l0⊥x轴，P（x0，y0）（x0y0≠0）为C上任意一点，C在点P处的切线为l，l与l0相交于点M，与直线l1：x=3相交于N．
（I） 求证；直线$\frac{{x}_{0}x}{3}$+$\frac{{y}_{0}y}{2}$=1是椭圆C在点P处的切线；
（Ⅱ）求证：$\frac{|FM|}{|FN|}$为定值，并求此定值；
（Ⅲ）请问△ONP（O为坐标原点）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．设知函数f（x）=$\frac{1}{x}$-x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=0，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，是否存在a，使得k≤$\frac{2e}{{{e^2}-1}}$a-2？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．
1．解方程：2（x4+1）-3x（x2-1）-4x2=0．
8．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
（2）求MN的长．
5．f（x）═ax2+bx+c，若关于x的不等式f（x-1）≥0的解集为[0，1]，则关于x的不等式f（x+1）≤0的解集为{x|x≥-1，或x≤-2}．
7．设函数f（x）=lnx．
（I）求函数g（x）=x-1-f（x）的极小值；
（Ⅱ）证明：当x∈[1，+∞）时，不等式$\frac{f（x）}{2}≥\frac{x-1}{x+1}$恒成立；
（Ⅲ）已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），试比较f（tana）与2tan（a-$\frac{π}{4}$）的大小，并说明理由．

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