Question

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：
①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；④a=2；⑤a=4；
（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；
（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正值；
（3）记满足（1）的条件下的Q点为Q_n（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的Q有几个？试求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标
（1）求出

PQ

=（a，x，-2），

QD

=（-a，2-x，0）利用

PQ

•

QD

=0，求出a即可．
（2）求出

PQ

以及平面ADP的一个法向量，通过向量的数量积求解PQ与平面ADP所成角．
（3）判断∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．利用cos＜

AQ1

，

AQ2

＞，求解二面角Q₁-PA-Q₂的大小．

解答： 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），设Q（a，x，0）．（0≤x≤2）
（1）∵

PQ

=（a，x，-2），

QD

=（-a，2-x，0）
∴由PQ⊥QD得

PQ

•

QD

=0，即-a²+2（2-x）=0，解得：a²=x（2-x）
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]，
∴在所给数据中，a可取a=

3

2

和a=1两个值．
（2）由（1）知a=1，此时x=1，即Q为BC中点，∴点Q的坐标为（1，1，0）
从而

PQ

=（1，1，-2），又

AB

=（1，0，0）为平面ADP的一个法向量，
∴cos＜

PQ

，

AB

＞=

PQ • AB

| PQ || AB |

=

1

6 ×1

=

6

6

，sin＜

PQ

，

AB

＞=

30

6

，
∴PQ与平面ADP所成角的正切值为

5

5

．
（3）由（1）知a=

3

2

，此时x=

1

2

或x=

3

2

，即满足条件的点Q有两个，
其坐标为Q₁（

3

2

，

1

2

，0），Q₂（

3

2

，

3

2

，0），
PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．
由cos＜

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 • AQ2

| AQ1 || AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，得∠Q₁AQ₂=30°，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小为30°．

点评：本题考查空间向量求解二面角的大小，直线与平面所成角，直线的垂直的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力，空间想象能力．