题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求b的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ ，因e^ax＞0且 $\text{[math]}$ ，故只需讨论 $\text{[math]}$ 的符号
所以 ①当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）≥0，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数
②当 $\text{[math]}$ 时，令f′（x）=0解得 $\text{[math]}$ ．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，为增函数，
f（x）在 $\text{[math]}$ 为减函数． …（6分）
（2）考查反面情况：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，其次， $\text{[math]}$ ，考虑 $\text{[math]}$
因 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，故h（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，
又h（2）≥0，所以 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立，所以 $\text{[math]}$ ，
综上 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）求导函数，将问题转化为讨论 $\text{[math]}$ 的符号，分类讨论即可；
（2）考查反面情况：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立，确定函数的最小值即可，再取其补集可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，解题的关键是考查反面情况，转化为恒成立问题．