Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

bnbn+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

Answer 1

（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即 

an

an-1

=2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）
∵n∈N^*，∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（11分）Tn-Tn-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0
∴数列{T_n}是一个递增数列                                           …（12分）
∴Tn≥T1=

1

3

．…（13分）
综上所述，

1

3

≤Tn＜

1

2

…（14分）