Question

7．在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离．

Answer 1

分析 推导出P（x，x，$\frac{\sqrt{2}a}{2}-\sqrt{2}x$），x＞0，Q（y，y，0），由此能求出P、Q两点间的最小距离．

解答 解：∵正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，
P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，
∴P点在底面上的射影R在OC上，
又底面长为a，∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴PR=RC，
∴P（x，x，$\frac{\sqrt{2}a}{2}-\sqrt{2}x$），x＞0，
又Q点在底面ABCD的对角线BD上，∴Q（y，y，0），
∴|PQ|=$\sqrt{（-x-y）^{2}+（x-y）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a-\sqrt{2}x）^{2}}$=$\sqrt{4（x-\frac{a}{4}）^{2}+2{y}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
当x=$\frac{a}{4}$，y=0时，d取最小值$\frac{a}{2}$，
此时P、Q为SC和DB的中点，
∴P、Q两点间的最小距离为$\frac{a}{2}$．

点评 本题考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．