Question

2．已知不等式x²-ax+a-2＞0（a＞2）的解集为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），则x₁+x₂+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由二次不等式的解集和对应方程根的关系以及韦达定理可得x₁+x₂+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2，由基本不等式可得．

解答 解：∵不等式x²-ax+a-2＞0（a＞2）的解集为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），
∴x₁+x₂+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2≥2$\sqrt{（a-2）•\frac{1}{a-2}}$+2=4，
当且仅当a-2=$\frac{1}{a-2}$即a=3时，上式取最小值4，
故答案为：4．

点评 本题考查一元二次不等式的解法，涉及基本不等式求最值，属基础题．