Question

5．如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥平面ABC，从而BC⊥PA，又BC⊥CA，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出在直线AC上存在点$CD=\sqrt{6}$，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．

解答 证明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC．…（1分）
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．…（3分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．…（5分）
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．…6分
解：（2）由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
∵PA=1，AB=2，BC=$\sqrt{2}$．
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），P（$\sqrt{2}，0，1$），
$\overrightarrow{CB}=（{0，\sqrt{2}，0}），\overrightarrow{CP}=（{\sqrt{2}，0，1}）$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PBC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，则取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），…（9分）
设直线AC上的点D满足$\overrightarrow{CD}=λ\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{CD}=（{\sqrt{2}λ，0，0}）$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（{0，-\sqrt{2}，0}）+（{\sqrt{2}λ，0，0}）=（{\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}，0}）$，
∵直线BD与平面PBC所成角为30°，∴$sin{30°}=\frac{{|n•\overrightarrow{BD|}}}{{|n|•\overrightarrow{|BD|}|}}=\frac{{|\sqrt{2}λ|}}{{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ^2}+2}}}=\frac{1}{2}$，
解得$λ=±\sqrt{3}$，…（11分）
∴在直线AC上存在点$CD=\sqrt{6}$，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．