Question

10．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求四棱锥P-ABCD的表面积；
（2）是否在棱PC上存在一点E，使得AP∥平面BDE；若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，CB=1由侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，CB=1．由此能求出四棱锥P-ABCD的表面积．
（2）连接AC交BD于点O，连接OE，推导出OE∥AP，由此能证明AP∥平面BDE．

解答 解：（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，CB=1．
∵PB=$\sqrt{P{C^2}+C{B^2}}=\sqrt{5}$…（2分）
∵AB⊥CB，AB⊥PC
∴AB⊥平面PCB，∴AB⊥PB，
∴${S_{△PAB}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，同理${S_{△PAD}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，…（4分）
∴四棱锥P-ABCD的表面积：
S_表P-ABCD=S_{正方形ABCD}+S_△PCB+S_△PAD+S_△PCD+S_△PAB
=1+$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$+1+1
=$\sqrt{5}+3$．…（6分）
解：（2）当E是PC的中点时，AP∥平面BDE．…（8分）
证明如下：
连接AC交BD于点O，连接OE，
则在三角形ACP中，O、E分别为AC、PC的中点，
∴OE∥AP，…（10分）
又∵OE?平面BDE，AP?平面BDE，
∴AP∥平面BDE．…（12分）

点评 本题考查四棱锥的表面积的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．