Question

【题目】已知，函数有两个零点．

(Ⅰ)求实数的取值范围；

(Ⅱ)证明：．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析

【解析】

(Ⅰ)利用导数求得函数的单调性及函数的最大值，即可求解实数的取值范围；

(Ⅱ) 构造新函数，利用导数得到函数的单调性，证得，进而利用基本不等式，即可作出证明．

(Ⅰ)由题意，函数，可得，

①时，，在上递增，不合题意，舍去，

②当时，令，解得；令，解得；

故在单调递增，在上单调递减，

由函数有两个零点，

其必要条件为：且，即，

此时，，且，

令，()，

则，在上单调递增，

所以，，即，

故的取值范围是．

(Ⅱ)令，

令，则，可得在单调递增，在单调递减，

由(Ⅰ)知，故有，

令，()，

，()，，

所以，在单调递减，故，

故当时，，

所以，而，故，

又在单调递减，，

所以，即，

故．