Question

20．如图，平面内有三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ（0°＜θ＜60°）且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，|$\overrightarrow{OC}$|=2$\sqrt{3}$，（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=3
（1）求θ的度数
（2）设$\overrightarrow{a}$=k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$
①若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，试求实数k的值
②若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{AB}$，试求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积运算及三角运算即可解得结论；
（2）利用向量垂直与平行的条件列出等式化简即可得出结论．

解答 解：（1）由（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=3得2$\sqrt{3}$cosθ+2$\sqrt{3}$cos（120°-θ）=3，即sin（30°+θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°＜θ＜60°，∴30°+θ=60°，∴θ=30°．
（2）①∵$\overrightarrow{a}$=k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴（k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，即（k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=0，
即k$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-k${\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=0，即kcos120°-k-2$\sqrt{3}$cos90°+2$\sqrt{3}$cos30°=0，
整理得$-\frac{1}{2}$k-k+3=0，解得k=2．
②由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{AB}$得，|k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$|=$|\overrightarrow{OC}|$，即${k}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}$-2k$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
即k²-2k×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，即k²-6k=0，
解得：k=6．

点评 本题主要考查了学生向量数量积的运算及三角化简计算的能力，以及向量垂直、平行的充要条件，属于中档题．