Question

设a为实数，函数f(x)＝x³－x²－x＋a．

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－2x－1． 　　若(x)＝0，则x＝－，1． 　　当x变化时，(x)、f(x)的变化情况如下表． 　　所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1． 　　(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1． 　　由此可知x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时有f(x)＜0． 　　所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 　　结合f(x)的单调性可知． 　　当f(x)的极大值＋a＜0，即a∈(－∞，－)时，它的极大值也小于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上； 　　当f(x)的极小值a－1＞0，即a∈(1，＋∞)时，它的极小值也大于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(－∞，－13)上． 　　所以当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．