Question

已知a＞b＞0，e₁，e₂分别是圆锥曲线和的离心率，设m=e₁+e₂，则m的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据e₁，e₂均大于0，故求m=e₁+e₂的范围可先求m平方的范围即求e₁²+e₂²+2e₁e₂的范围，而e₁²+e₂²=2，再根据a＞b＞0推断出 ，进而利用椭圆和双曲线的性质分别表示出e₁和e₂，进而求得e₁e₂的表达式，求得e₁e₂的范围，代入m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂中，求得m²的范围．即可求解
解答：解：由题意得：
e₁=＞0，e₂=＞0
∵m=e₁+e₂
∴m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂
即m²=2+2e₁e₂=
∵a＞b＞0
∴
∴0＜e₁e₂＜1
即2＜m²＜4
即
故答案为：（，2）
点评：本题采用了转化思想，通过求解变量的平方从而解决了问题，是解决问题常用的手段，属于基础题．