Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}，x≥0}\\{\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函数f（x）的零点；
（2）若实数t满足f（log₂t）+f（log₂$\frac{1}{t}$）＜2f（2），求f（t）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．
（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为|log₂t|＜2，解得f（t）的取值范围．

解答 解：（1）当x＜0时，解$\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}=0$得：x=ln$\frac{1}{3}$=-ln3，
当x≥0时，解$\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}=0$得：x=ln3，
故函数f（x）的零点为±ln3；
（2）当x＞0时，-x＜0，
此时f（-x）-f（x）=$\frac{2}{{e}^{-x}+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+\frac{2}{{e}^{x}+1}$=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}+\frac{2}{{e}^{x}+1}-2$=0，
故函数f（x）为偶函数，
又∵x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}$为增函数，
∴f（log₂t）+f（log₂$\frac{1}{t}$）＜2f（2）时，2f（log₂t）＜2f（2），
即|log₂t|＜2，
-2＜log₂t＜2，
∴t∈（$\frac{1}{4}$，4）
故f（t）∈（$\frac{1}{2}-\frac{2}{\root{4}{e}+1}$，$\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{4}+1}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的值域，难度中档．