Question

【题目】已知曲线C的参数方程为 （α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．
（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ= ，求直线被曲线C截得的弦长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的参数方程为 （α为参数），

∴由sin2α+cos2α=1，

得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，

即x2+y2=6x+2y，

由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，

得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，

即ρ=6cosθ+2sinθ，

它是以（3，1）为圆心，以 为半径的圆．

（2）解：∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ= ，

∴ρsinθ﹣ρcosθ=1，

∴直线的直角坐标为x﹣y+1=0，

∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r= 为半径的圆，

圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d= = ，

∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2 =2 = ．

【解析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ2=x2+y2 ， ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以 为半径的圆．（2）先求出直线的直角坐标为x﹣y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长．