Question

如图，在长方体中，，且．

（I）求证：对任意，总有；
（II）若，求二面角的余弦值；
（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）见解析（II）（III）存在

试题分析：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，从而，
，即．　　                                           ……4分
（II）由（Ｉ）及得，，
设平面的法向量为，则，
从而可取平面的法向量为，
又取平面的法向量为，且设二面角为，
所以　　　　　                                            ……8分
（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，
即，即，
解得 ．
所以存在满足题意得实数，
使得在平面上的射影平分.                                    ……12分
点评：立体几何问题可以转化为用空间向量来解决，可以省去作二面角、线面角等步骤之间求解，但是求解时一定要注意运算的准确性.