Question

定义在N₊上的函数f（x），满足f（n+1）=

1 2 f( n 2 )，n为偶数 f(n)，n为奇数

，
（1）若f（11）=

1

4

，则f（1）

 

．
（2）若f（1）=1，则f（2ⁿ）=

 

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：根据分段函数的表达式进行推理即可．然后利用归纳推理的知识进行推理．

解答：解：（1）∵f（11）=f（10+1）=

1

2

f(5)=

1

2

f(4+1)=

1

2

×

1

2

f(2)=

1

4

f(1+1)=

1

4

f(1)=

1

4

，
∴f（1）=1．
（2）∵2ⁿ是偶数，
∵f（1）=1，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）=1，
f（3）=

1

2

f(2)=

1

2

f（4）=f（3+1）=f（3）=

1

2

，
f（8）=f（7+1）=f（7）=f（6+1）=

1

2

f(3)=

1

2

×

1

2

=

1

4

=

1

22

f（16）=f（15+1）=f（15）=f（14+1）=

1

2

f(7)=

1

2

×

1

2

f(3)=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

=

1

23

f（32）=f（31+1）=f（31）=f（30+1）=

1

2

f(15)=

1

2

×

1

2

f(7)=

1

2

×

1

2

×

1

2

f(3)=

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

24

，
∴由归纳推理可知f（2ⁿ）=

1

2n-1

．
故答案为：1，

1

2n-1

．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，根据条件求出几个函数值的取值，然后归纳出取值规律是解决本题的关键．考查学生的观察能力．