Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，_MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;

（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；

（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE_⊥平面MNC，求的值.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,

∴BC∥AD.

∵BCË平面AMD,AD平面AMD,

∴BC∥平面AMD.

∵NB∥MD,

∵NBË平面AMD,MD平面AMD,

∴NB∥平面AMD.

∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,

∴平面AMD∥平面BCN

∵AM平面AMD,

∴AM∥平面BCN

(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)

（Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）

则，，,.

, 

，,

设平面MNC的法向量,

则，令，则

设AN与平面MNC所成角为,

.  ……9分

（Ⅲ）设，，，

又，

E点的坐标为， 

面MDC,，

欲使平面ADE⊥平面MNC，只要，

，，

 .