题目内容

若数列{an}满足：a1=
1
3
，且对任意正整数m，n都有am+n=am•an，则
lim
n→+∞
（a1+a2+…+an）=（　　）
A．
1
2
B．
2
3
C．
3
2
D．2
数列{an}满足：a1=
1
3
，且对任意正整数m，n都有am+n=am•an
∴a2=a1+1=a1•a1=
1
9
，an+1=an•a1=
1
3
an，
∴数列{an}是首项为
1
3
，公比为
1
3
的等比数列．
lim
n→+∞
（a1+a2++an）=
a1
1-q
=
1
2
，
故选A．
练习册系列答案
相关题目
若数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则通项an=
3×2n-1-n-1
3×2n-1-n-1
．
设m＞3，对于数列{an} （n=1，2，…，m，…），令bk为a1，a2，…，ak中的最大值，称数列 {bn} 为{an} 的“递进上限数列”．例如数列2，1，3，7，5的递进上限数列为2，2，3，7，7．则下面命题中
①若数列{an} 满足an+3=an，则数列{an} 的递进上限数列必是常数列；
②等差数列{an} 的递进上限数列一定仍是等差数列
③等比数列{an} 的递进上限数列一定仍是等比数列
正确命题的个数是（　　）
（2009•烟台二模）若数列{an}满足an+12-
a
2
n
=d（d为正常数，n∈N+），则称{an}为“等方差数列”．甲：数列{an}为等方差数列；乙：数列{an}为等差数列，则甲是乙的（　　）
（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=ax-
ln(1+x)
1+x
在x=0处取得极值．
（I）求实数a的值，并判断，f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），求证：0＜an+1＜an≤l；
（Ⅲ）在（II）的条件．下，记sn=
a1
1+a1
+
a1．a2
(1+a1)(1+a2)
+…+
a1．a2…an
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
，求证：sn＜1．
已知函数f（x）=
x
x+1
，若数列{an}满足：an＞0，a1=1，an+1=[f（
an
）]2，
（I）求数列{an}的通项公式数列an；
（II）若数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜2．

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