Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，若数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=[f（

an

）]²，
（I）求数列{a_n}的通项公式数列a_n；
（II）若数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意有an+1=(

an

an +1

)2，

an+1

=

an

an +1

，故

1

an+1

-

1

an

=1．所以

1

an

=1+(n-1)=n，由此能求出an=

1

n2

．
（Ⅱ）当k≥2（k=2，3，4，…，n）时，ak=

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，由此利用裂项求和法能够证明S_n＜2．

解答：（Ⅰ）解：由题意有an+1=(

an

an +1

)2，
∴

an+1

=

an

an +1

，（2分）
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1．（4分）
所以数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．（5分）

1

an

=1+(n-1)=n，
即

an

=

1

n

．
所以an=

1

n2

．（7分）
（Ⅱ）证明：当k≥2（k=2，3，4，…，n）时，
ak=

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，（10分）Sn=a1+a2+…+an=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2，（13分）
故 S_n＜2．（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．