题目内容
已知a＞0，b＞0，M=max{a，b，
+
}，则M的最小值为 ．
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
考点：函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：先讨论a，b的大小，确定出三个数中的最大者，然后再求出最大者的最小值．
解答：
解：①当0＜a≤b时，则
+
≥
，（1）
此时M=max{a，b，
+
}=max{b，
+
}（2）
由（1）（2）知minM=min（max{b，
}），
当b≥
时，b≥
，此时取b的最小值为
，
②当0＜b≤
时，
≥b，此时取
的最小值，当b=
时，
最小值为
；
当0＜b≤a时，则
+
≥
，此时M={a，
}，
同理可得当a=
时，minM=
．
综合①②可知M的最小值为
．
故答案为：
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 5 |
| b |
此时M=max{a，b，
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
由（1）（2）知minM=min（max{b，
| 5 |
| b |
当b≥
| 5 |
| 5 |
| b |
| 5 |
②当0＜b≤
| 5 |
| 5 |
| b |
| 5 |
| b |
| 5 |
| 5 |
| b |
| 5 |
当0＜b≤a时，则
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 5 |
| a |
| 5 |
| a |
同理可得当a=
| 5 |
| 5 |
综合①②可知M的最小值为
| 5 |
故答案为：
| 5 |
点评：此题难度较大，关键是对题意的理解要准确，即先找到三个数中的最大者，然后再求最大者的最小值．
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