Question

【题目】已知函数，其中，为参数，且.

（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值.

（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围.

（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）无极值.

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，，得到，所以无极值.

（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ），只需分当和两情况讨论，即可得到使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围.

（Ⅲ）由题设，函数在内是增函数，且由（Ⅱ）参数时要使恒成立，列出不等式，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）当时，，，所以，所以无极值.

（Ⅱ）因为，

设，得，

由（Ⅰ），只需分下面两情况讨论：

①当时

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以当时，取得极小值，

极小值，

要使则有，

所以，

因为，故或；

②当时，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以当时，取得极小值.

极小值

若，则，矛盾.

所以当时，的极小值不会大于零.

综上所述，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围是：

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数在区间与内都是增函数，由题设，函数在内是增函数，则或

由（Ⅱ）参数时要使恒成立，必有

即且

综上：或.

所以的取值范围是.