Question

求证：

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

（n≥2且n∈N）

Answer 1

分析：利用放缩法来证明，将其变形为

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后用叠加法得证．

解答：解：
证明：∵n²＜n•（n+1），∴

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

22

＞

1

2

-

1

3

，

1

32

＞

1

3

-

1

4

，…
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

 ＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

即∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2

-

1

n+1

故

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，即证．

点评：此题主要考查不等式的放缩法，同时还运用了叠加法．