Question

（1）△ABC的三边a，b，c倒数成等差数列，求证：B＜

π

2

（2）证明：

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)．

Answer 1

分析：（1）反证法，假设B≥

π

2

，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0．推出与已知矛盾的结果．
（2）利用放缩法以及裂项法求和证明不等式的左侧，右侧不等式利用数学归纳法证明即可．

解答：证明：（1）反证法：假设B≥

π

2

．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

c

+

1

a

与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
（2）因为

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n•(n+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

，
所以

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

；
下面用数学归纳法证明：

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)，
①当n=2时，左边=

1

22

=

1

4

，右边=

2-1

2

=

1

2

，左＜右，不等式成立．
②假设n=k（k≥2，k∈Z）不等式成立，即

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

＜

k-1

k

(k=2，3，4…)，
那么：

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜

k-1

k

+

1

(k+1)2

，
要证

k-1

k

+

1

(k+1)2

＜

k

k+1

，
只需证明：

k-1

k

＜

k

k+1

-

1

(k+1)2

，
即证明：

k-1

k

＜

k2+k-1

(k+1)2

，
就是证明：（k-1）（k+1）²＜k（k²+k-1），
只需证明：k³+2k²+k-k²-2k-1＜k³+k²-k，
即证明-1＜0，这是显然成立的，
所以

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜

k

k+1

成立．
这就是说n=k+1时不等式也成立，
由①②可知，

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)成立．
综上不等式

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)恒成立．

点评：第一题使用反证法证明，注意反证法的步骤；第二题考查放缩法与数学归纳法证明不等式的基本方法，注意数学归纳法中的分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．