题目内容

若n∈N+，n≥2，求证：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．
证明：∵
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＞ 
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
1
2
 -
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=
1
2
-
1
n+1
；
又
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)n
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
4
-…+
1
n-1
-
1
n
＜1-
1
n
；
所以
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．
练习册系列答案
相关题目
若n∈N+，n≥2，求证：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．
已知数列{an}中，a1=1，且nan+1=（n+1）an（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若函数f（n）=
1
n+a1
+
1
n+a2
+
1
n+a3
+…+
1
n+an
（n∈N，n≥2）求函数f（n）的最小值．
（2012•芜湖二模）已知函数f(x)=
1
2
(x+
1
x
)，x≥0，an+1=f（an），对于任意的n∈N*，都有an+1＜an．
（Ⅰ）求a1的取值范围；
（Ⅱ）若a1=
3
2
，证明an＜1+
1
2n+1
（n∈N+，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
-n＜
2
+1．
（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
函数f（x）的定义域为R，数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k为非零常数，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于给定的正整数m，如果
S(m+1)nSmn
的值与n无关，求k的值．

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