Question

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s：t．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（I）ξ表示取球结束时已取到白球的次数，ξ的可能取值为：0，1，2，…，n，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率写出变量的分布列．
（II）写出变量的期望，观察期望的表示式的结构特点，发现期望是一个等比数列的前n项的和，看出首项和公比，可以根据等比数列的前n项和公式得到结果，也可以根据错位相减得到结果．

解答：解：（I）ξ的可能取值为：0，1，2，，n
ξ的分布列为

（II）ξ的数学希望为Eξ=0×

s

s+t

+1×

st

(s+t)2

+2×

st2

(s+t)3

+…+（n-1）×

stn-1

(s+t)n-1

+n×

tn

(s+t)n

（1）

t

s+t

Eξ=

st2

(s+t)2

+…+

(n-2)stn-1

(s+t)n-1

+

(n-1)stn

(s+t)n-1

+

ntn+1

(s+t)n+1

（2）
（1）-（2）得Eξ=

t

s

-

tn

s(s+t)n-1

-

(n-1)tn

(s+t)n-1

+

ntn

(s+t)n

．

点评：本题考查离散型随机变量的期望和分布列，本题有一点特殊，概率的表示式不是具体的数字而是字母，这样给解题带来一定的难度．