Question

1．在平面直角坐标系xOy中，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的位置如图所示，已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=3，且∠AOx=45°，∠OAB=105°，请分别求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标．

Answer 1

分析 根据条件可先得到∠OAC=75°，∠OCA=60°，OA=4，然后根据正弦定理便可求出OC=$2\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$AC=\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而可以得出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OA}$的坐标，而根据$\overrightarrow{AB}=\frac{AB}{AC}•\overrightarrow{AC}$便可得出向量$\overrightarrow{AC}$的坐标，这样便可得到向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标．

解答 解：根据条件，∠OAC=75°，∠OCA=60°，OA=4；
∴由正弦定理得，$\frac{4}{sin60°}=\frac{OC}{sin75°}=\frac{AC}{sin45°}$；
∴$OC=2\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
且A（2$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$）；
∴$\overrightarrow{OC}=（2\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{6}}{3}，0），\overrightarrow{OA}=（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$；
∴$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=（-\frac{2\sqrt{6}}{3}，2\sqrt{2}）$；
∴$\overrightarrow{AB}=\frac{AB}{AC}•\overrightarrow{CA}=\frac{3}{\frac{\sqrt{6}}{3}}（-\frac{2\sqrt{6}}{3}，2\sqrt{2}）$=$（-6，6\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{a}=（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}），\overrightarrow{b}=（-6，6\sqrt{3}）$．

点评 考查三角形内角和为180°，正弦定理，两角和的正弦公式，以及根据点的坐标求向量的坐标，向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量坐标的减法运算．