Question

5．函数y=1g（3+2x-x²）的定义域为集合M．求：当x∈M时，函数f（x）=2^x+3-3•4^x的最值，并指出f（x）取得最值时的x值．

Answer 1

分析 由对数函数的定义域，可得M，可设t=2^x（$\frac{1}{2}$＜t＜8），可得y=8t-3t²，再由二次函数的值域求法，可得最值．

解答 解：由y=1g（3+2x-x²），
可得3+2x-x²＞0，解得-1＜x＜3，
即M=（-1，3），
函数f（x）=2^x+3-3•4^x的，
可设t=2^x（$\frac{1}{2}$＜t＜8），
可得y=8t-3t²=-3（t-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
当t=$\frac{4}{3}$，即x=log₂$\frac{4}{3}$时，函数取得最大值$\frac{16}{3}$，
无最小值．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数、指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．