Question

已知函数f（x）=-x²+mx-m．
（1）若函数f（x）在[-1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得f（x）在定义域[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意得出应满足

m

2

≤-1，解得m≤-2，即可．
（2）分类讨论：当

m

2

≤2，即

f(2)=3 f(3)=2

即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

解得m无解．
当

m

2

≥3，即m≥6时，有

f(2)=2 f(3)=3

即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

解得m=6．
当2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6时，有f（

m

2

）=-(

m

2

)²+m-

m

2

×m=3，

解答： 解：（1）函数f（x）图象的对称轴是x=

m

2

，
要使f（x）在[-1，0]上是单调递减的，应满足

m

2

≤-1，解得m≤-2．
（2）当

m

2

≤2，即m≤4时，f（x）在[2，3]上是减少的．
若存在实数m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
则有即

f(2)=3 f(3)=2

即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

解得m无解．
当

m

2

≥3，即m≥6时，f（x）在[2，3]上是增加的，
则有

f(2)=2 f(3)=3

即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

解得m=6．
当2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6时，f（x）在[2，3]上先增加，再减小，
所以f（x）在x=

m

2

处取最大值．
则有f（

m

2

）=-(

m

2

)²+m-

m

2

×m=3，
解得m=-2或6 （舍去）．
综上，存在实数m=6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．

点评：本题考查了二次函数的性质，运用不等式，分类求解判断即可，．