Question

15．函数y=f（x）满足对任意x₁，x₂∈[0，2]（x₁≠x₂），$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（　　）

• A． f（1）＜f（$\frac{5}{2}$）＜f（$\frac{7}{2}$）
• B． f（$\frac{7}{2}$）＜f（1）＜f（$\frac{5}{2}$）
• C． f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{5}{2}$）＜f（1）
• D． f（$\frac{5}{2}$）＜f（1）＜f（$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 由条件$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}＞0$便可得到f（x）在[0，2]上单调递增，而由f（x+2）为偶函数便有f（x+2）=f（-x+2），从而可得到：$f（\frac{5}{2}）=f（\frac{3}{2}），f（\frac{7}{2}）=f（\frac{1}{2}）$，这样根据f（x）在[0，2]上单调递增便可比较$f（1），f（\frac{3}{2}），f（\frac{1}{2}）$的大小，这样便可得到$f（1），f（\frac{5}{2}），f（\frac{7}{2}）$的大小．

解答 解：根据条件知，f（x）在[0，2]上单调递增；
f（x+2）为偶函数；
∴f（x+2）=f（-x+2）；
∴$f（\frac{5}{2}）=f（\frac{1}{2}+2）=f（-\frac{1}{2}+2）=f（\frac{3}{2}）$；
$f（\frac{7}{2}）=f（\frac{3}{2}+2）=f（-\frac{3}{2}+2）=f（\frac{1}{2}）$；
∵f（x）在[0，2]上单调递增；
∴$f（\frac{1}{2}）＜f（1）＜f（\frac{3}{2}）$；
∴$f（\frac{7}{2}）＜f（1）＜f（\frac{5}{2}）$．
故选B．

点评 考查偶函数的定义，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法，清楚偶函数的定义为自变量x的函数值等于-x的函数值，而f（x+2）的自变量为x．