Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，P是椭圆C₁上任意一点，设该双曲线C₂：以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限内的任意一点，且
（1）设的最大值为2c²，求椭圆离心率；
（2）若椭圆离心率时，是否存在λ，总有∠BAF₁=λ∠BF₁A成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出P点坐标，可知椭圆焦点坐标，进而表示出，把点P坐标代入椭圆方程求得y，代入中求得x²=a²时，最大值为b²，进而推断出b²=2c²，根据a，b和c的关系求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）根据离心率可求得a和c的关系，设出双曲线方程，设B（x，y）代入双曲线方程，先看当AB⊥x轴时，可求得x和y进而求得∠BAF₁==2∠BF₁A；在看x≠2c时．表示出tanBAF₁和tan∠BF₁A，利用正切的二倍角公式求得tan2∠BF₁A和tan2∠BF₁A得出tan2∠BF₁A=tanBAF₁的结论，进而判断出2∠BF₁A=∠BAF₁成立，最后综合的可得结论．
解答：解：（1）设P（x，y），又F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴=（-c-x，-y），=（c-x，-y）
∴=x²+y²-c²
又，得y²=b²-
∵0≤x²≤a²，
∴=（1-）x²+b²-c²=x²+b²-c²．
x²=a²时，最大值为b²
故b²=2c²，
∴a²=3c²，
∴e==
（2）由椭圆离心率e=，a=2c，b=c得双曲线C₂：-=1，A（2c，0）
设B（x，y）（x＞0，y＞0）则-=1
①当AB⊥x轴时，x=2c，y=3c．
∴tan∠BF₁A=1，
∴∠BF₁A=45°
∴∠BAF₁==2∠BF₁A．
当x≠2c时．
tanBAF₁==，tan∠BF₁A=，
∴tan2∠BF₁A==
∵y²=3c²（-1）=3（x²-c²）
∴tan2∠BF₁A===tanBAF₁，

又2∠BF₁A与∠BAF₁同在（0，）或（，π）内
2∠BF₁A=∠BAF₁
总2∠BF₁A=∠BAF₁有成立．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，向量的基本计算，正切的二倍角公式等．考查了学生综合分析和推理能力．