Question

过抛物线P：y²=2x的焦点F的直线交P于A、B两点，已知|AF|=4．
（1）求|BF|；
（2）求线段AB的中点到y轴的距离．

Answer 1

分析：（1）由y²=2x，得p=1，其准线方程为x=-

1

2

，焦点F（

1

2

，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由抛物线的定义可知，|AF|=x1+

1

2

，|BF|=x2+

1

2

，由|AF|=4，依次求出A，B点的坐标可得答案
（2）由（1）可得线段AB的两个端点到y轴的距离，结合梯形中位线等于上下两底和的一半，可得线段AB的中点到y轴的距离．

解答：解：（1）由抛物线P的标准方程：y²=2x可得
其准线方程为x=-

1

2

，焦点F（

1

2

，0）．
设过焦点F的直线AB，交P于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）点
则|AF|=x1+

1

2

=4，解得x₁=

7

2

，进而y₁=±

7

当y₁=

7

时，直线AB的方程为：y=

7

3

（x-

1

2

）
代入y²=2x后整理得：
7x²-25x+

7

4

=0，由韦达定理得x₁+x₂=

25

7

，x₁•x₂=

1

4

解得x₂=

1

14

故|BF|=x₂+

1

2

=

4

7

（2）由（1）得A点到y轴的距离x₁=

7

2

，B点到y轴的距离为x₂=

1

14

则线段AB的中点到y轴的距离为

x1+x2

2

=

25

14

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的基本性质是解答的关键．