题目内容

精英家教网设直线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，且交C于点M，N，设
MF
=λ
FN
(λ＞0)．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直线方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直线MN在y轴上截距的取值范围；
（III）抛物线C的准线l与x轴交于点E，求证：
EF
与
EM
-λ
EN
的夹角为定值．
分析：（I）p=2时，抛物线y2=4x，F（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），
MF
=λ
FN
(λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
1-x1=λ(x2-1)  ①
y1=-λy2②
，由此能求出MN所在的直线方程．
（II）由p=2得直线MN方程为(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(λ-1)y=-2
λ
(x-1)，由此能求出直线MN在y轴上截距的取值范围．
（III）设M，N在直线l上的射影为M’，N’，则有
EM
=
EM‘
+
M’M
，
EN
=
EN‘
+
N’N
，由
MM‘
=λ
NN’
，知
EM
-λ
EN
=
EM’
-λ
EN‘
，由此能求出
EF
与
EM
-λ
EN
的夹角为定值90°．
解答：解：（I）p=2时，抛物线y2=4x，F（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），
MF
=λ
FN
(λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
1-x1=λ(x2-1)  ①
y1=-λy2②

由②得y12=λ2y22，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x1=λ2x2．③
联立①、③解得x2=
1
λ
，x1=λ，依题意有λ＞0．
∴M(λ，2
λ
)，或M(λ，-2
λ
)，而F(1，0)，当λ=4时，
得直线MN的方程为4x-3y-4=0或4x+3y-4=0；(5分)

（II）由（I）及p=2得直线MN方程为(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(λ-1)y=-2
λ
(x-1)，
当λ∈[4，9]时，MN在y轴上的截距为
2
λ
λ-1
或-
2
λ
λ-1
，
令f(x)=
2
x
x-1
，则f′(x)=
-x-1
x
(x-1)2
＜0
可知
2
λ
λ-1
在[4，9]上是递减的，
∴
3
4
≤
2
λ
λ-1
≤
4
3
，-
4
3
≤-
2
λ
λ-1
≤-
3
4
，
直线MN在y轴上截距的变化范围为[-
4
3
，-
3
4
]∪[
3
4
，
4
3
]．(5分)

（III）设M，N在直线l上的射影为M’，N’，则有
EM
=
EM‘
+
M’M
，
EN
=
EN‘
+
N’N
，
由于
MM‘
=λ
NN’
，∴
EM
-λ
EN
=
EM’
-λ
EN‘
，
∵
EF
⊥(
EM‘
-λ
EN’
)，∴
EF
⊥(
EM
-λ
EN
)，
∴
EF
与
EM
-λ
EN
的夹角为定值90°．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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已知抛物线C：y=x2+4x+
7
2
，过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为-
1
2
，求点M的坐标（x0，y0）；
（2）设P（-2，4）为C对称轴上的一点，在C上一定存在点，使得C在该点的法线通过点P．试求出这些点，以及C在这些点的法线方程．
抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）设直线AB上一点M，满足
BM
=λ
MA
，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
设抛物线C：y=x2，F为焦点，l为准线，准线与y轴交点为H
（1）求|FH|；
（2）过点H的直线与抛物线C交于A，B两点，直线AF与抛物线交于点D．
①设A，B，D三点的横坐标分别为x1，x2，x3，计算：x1•x2及x1•x3的值；
②若直线BF与抛物线交于点E，求证：D，E，H三点共线．
设直线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，且交C于点M，N，设．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直线方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直线MN在y轴上截距的取值范围；
（III）抛物线C的准线l与x轴交于点E，求证：的夹角为定值．

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