Question

（2007•金山区一模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的度数；
（2）若b=

19

，a+c=5，求a和c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由第一问求出的B的度数，得出cosB的值，利用余弦定理表示出b²，把b及cosB的值代入，配方后再把a+c的值代入可得出ac=6，与a+c=5联立成方程组，求出方程组的解即可求出a与c的值．

解答：解：（1）已知的等式

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
由正弦定理得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，（2分）
-sinBcosC=2cosBsinA+cosBsinC（3分）
sinBcosC+cosBsinC+2cosBsinA=0，
sin（B+C）+2cosBsinA=0，（4分）
sinA+2cosBsinA=0，（只要写出本行，给5分）（5分）
因为sinA≠0，
所以cosB=-

1

2

，所以B=120°；（7分）
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，（9分）
19=（a+c）²-2ac-2accos120°，所以ac=6，（11分）
由

a+c=5 ac=6

，
解得

a=2 c=3

或

a=3 c=2

．（缺一解，扣1分）（14分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．