题目内容

(2007•金山区一模)(1)已知平面上两定点A(-2,0)、B(2,0),且动点M的坐标满足
MA
MB
=0,求动点M的轨迹方程;
(2)若把(1)的M的轨迹图象向右平移一个单位,再向下平移一个单位,恰与直线x+ky-3=0 相切,试求实数k的值;
(3)如图1,l是经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E、F是两个焦点,点P∈l,P不与A重合.若∠EPF=α,证明:0<α≤arctan
c
b
.类比此结论到双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
,l是经过焦点F且与实轴垂直的直线,A、B是两个顶点,点P∈l,P不与F重合(如图2).若∠APB=α,试求角α的取值范围.
分析:(1)设点M为(x,y),利用坐标表示向量,代入题目中的条件
MA
MB
=0
得x2+y2=4,即得到点M的轨迹方程.
(2)由题意图象向右平移一个单位,再向下平移一个单位得到新的圆的方程(x-1)2+(y+1)2=4,根据其与直线x+ky-3=0 相切可得k=0或k=
4
3

(3)由题得α=∠EPA-∠FPA,所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA),可得0<α≤arctan
c
b
;类比椭圆的证明方法得到双曲线
的类似的性质 0<α≤arctan
a
b
解答:解:(1)设M(x,y),
MA
MB
=0
得x2+y2=4,
此即点M的轨迹方程.…(3分)
(2)将x2+y2=4向右平移一个单位,再向下平移一个单位后,
得到圆(x-1)2+(y+1)2=4…(5分)
依题意有
|k+2|
k2+1
=2
,得k=0或k=
4
3
…(8分)
(3)(ⅰ)证明:不妨设点P在A的上方,并设P(a,t)(t>0),
tan∠EPA=
a+c
t
,tan∠FPA=
a-c
t
…(10分)
所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=
a+c
t
-
a-c
t
1+
a2-c2
t2
=
2c
t+
b2
t
c
b
…(12分)
所以0<tanα≤
c
b
.显然α为锐角,即:0<α≤arctan
c
b
…(14分)
(ⅱ)不妨设点P在F的上方,并设P(c,t)(t>0),
tan∠APF=
c+a
t
 , tan∠BPF=
c-a
t

所以tanα=tan(∠APF-∠BPF)=
c+a
t
-
c-a
t
1+
c2-a2
t2
=
2a
t+
b2
t
a
b

由于tanα>0且tanα≤
a
b
,α为锐角,故0<α≤arctan
a
b
.…(18分)
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系,主要考查轨迹方程的求解,考查图象变换,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是把向量条件坐标化,熟练掌握直线与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的几何性质.
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