题目内容
(2007•金山区一模)(1)已知平面上两定点A(-2,0)、B(2,0),且动点M的坐标满足
•
=0,求动点M的轨迹方程;
(2)若把(1)的M的轨迹图象向右平移一个单位,再向下平移一个单位,恰与直线x+ky-3=0 相切,试求实数k的值;
(3)如图1,l是经过椭圆
+
=1 (a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E、F是两个焦点,点P∈l,P不与A重合.若∠EPF=α,证明:0<α≤arctan
.类比此结论到双曲线
-
=1,l是经过焦点F且与实轴垂直的直线,A、B是两个顶点,点P∈l,P不与F重合(如图2).若∠APB=α,试求角α的取值范围.
MA |
MB |
(2)若把(1)的M的轨迹图象向右平移一个单位,再向下平移一个单位,恰与直线x+ky-3=0 相切,试求实数k的值;
(3)如图1,l是经过椭圆
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
c |
b |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
分析:(1)设点M为(x,y),利用坐标表示向量,代入题目中的条件
•
=0得x2+y2=4,即得到点M的轨迹方程.
(2)由题意图象向右平移一个单位,再向下平移一个单位得到新的圆的方程(x-1)2+(y+1)2=4,根据其与直线x+ky-3=0 相切可得k=0或k=
(3)由题得α=∠EPA-∠FPA,所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA),可得0<α≤arctan
;类比椭圆的证明方法得到双曲线
的类似的性质 0<α≤arctan
.
MA |
MB |
(2)由题意图象向右平移一个单位,再向下平移一个单位得到新的圆的方程(x-1)2+(y+1)2=4,根据其与直线x+ky-3=0 相切可得k=0或k=
4 |
3 |
(3)由题得α=∠EPA-∠FPA,所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA),可得0<α≤arctan
c |
b |
的类似的性质 0<α≤arctan
a |
b |
解答:解:(1)设M(x,y),
由
•
=0得x2+y2=4,
此即点M的轨迹方程.…(3分)
(2)将x2+y2=4向右平移一个单位,再向下平移一个单位后,
得到圆(x-1)2+(y+1)2=4…(5分)
依题意有
=2,得k=0或k=
…(8分)
(3)(ⅰ)证明:不妨设点P在A的上方,并设P(a,t)(t>0),
则tan∠EPA=
,tan∠FPA=
…(10分)
所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=
=
≤
…(12分)
所以0<tanα≤
.显然α为锐角,即:0<α≤arctan
…(14分)
(ⅱ)不妨设点P在F的上方,并设P(c,t)(t>0),
则tan∠APF=
, tan∠BPF=
,
所以tanα=tan(∠APF-∠BPF)=
=
≤
由于tanα>0且tanα≤
,α为锐角,故0<α≤arctan
.…(18分)
由
MA |
MB |
此即点M的轨迹方程.…(3分)
(2)将x2+y2=4向右平移一个单位,再向下平移一个单位后,
得到圆(x-1)2+(y+1)2=4…(5分)
依题意有
|k+2| | ||
|
4 |
3 |
(3)(ⅰ)证明:不妨设点P在A的上方,并设P(a,t)(t>0),
则tan∠EPA=
a+c |
t |
a-c |
t |
所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=
| ||||
1+
|
2c | ||
t+
|
c |
b |
所以0<tanα≤
c |
b |
c |
b |
(ⅱ)不妨设点P在F的上方,并设P(c,t)(t>0),
则tan∠APF=
c+a |
t |
c-a |
t |
所以tanα=tan(∠APF-∠BPF)=
| ||||
1+
|
2a | ||
t+
|
a |
b |
由于tanα>0且tanα≤
a |
b |
a |
b |
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系,主要考查轨迹方程的求解,考查图象变换,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是把向量条件坐标化,熟练掌握直线与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的几何性质.
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