Question

已知函数y=f（x）=

ax2+1

bx+c

 （a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）＜

5

2

．试求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可求c=0，f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

，利用基本不等式可求最小值，由f（1）＜

5

2

得

a+1

b

＜

5

2

，即2b²-5b+2＜0，可求b=1，a=1，故可求函数的解析式．

解答：解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

，∴bx+c=bx-c，∴c=0，…（2分）
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

，…（4分）
当且仅当x=

1 a

时等号成立，于是2

a b2

=2，∴a=b²，…（6分）
由f（1）＜

5

2

得

a+1

b

＜

5

2

，即

b2+1

b

＜

5

2

，…（8分）
∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2，…（10分）
又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+

1

x

．…（12分）

点评：本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．