Question

【题目】已知函数（，且为自然对数的底数）

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）判断函数的奇偶性并证明；

（3）是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的范围，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）增函数,证明见解析（2）奇函数,证明见解析（3）存在,

【解析】

（1）利用单调性的定义证明单调性；

（2）利用奇偶性的定义证明奇偶性；

（3）根据（1）（2）的结论脱去“f”，分离参数，转化为二次函数问题，求实数t的取值范围．

（1）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1），

又y＝ex在R上为增函数且ex＞0，

∴，∴，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．

（2）∵函数f（x）＝ex﹣e﹣x，x∈R，定义域关于原点对称，

又f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），

∴f（x）为奇函数．

（3）由（1）（2）知f（x）在R上为奇函数且单调递增，由

可得：，

∴，

即：对一切都成立，

又

解得：．

综上存在实数，t的取值范围是．