Question

【题目】已知定义域是R上的奇函数．

（1）求a；

（2）判断在R上的单调性，并用定义法证明；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（4）设关于x方程有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）在R上单调递增，证明见解析；

（3）；

（4）；

【解析】

（1）根据奇函数的性质，，求；（2）根据（1）的结论，，变形为，利用单调性的的定义域证明；（3）函数是奇函数，不等式变形为，根据（2）可知，函数单调递增，所以恒成立，利用参变分离得恒成立，求的取值范围；（4）因为函数是奇函数，所以，所以，即：有零点，设，，转化为求函数的值域.

（1）因为是R上的奇函数，所以，即：，∴，经检验，满足，所以．

（2）

∴在R上单调递增，以下证明：

对，且

由的单调递增性知

又，，

∴

∴在R上单调递增．

（3）由题意，对，

又

∴

又由（2）知：在R上单调递增

∴

令，易知其最小值是-4．

∴，即

（4）由题意知：有零点

即：

在R上单调

∴

即：有零点

令：

有零点

即：函数与函数有交点

易知：有最小值

∴时，有零点．