Question

已知x∈R,求证:≤≤2.

Answer 1

证明:设y=,∴y(x²-x+1)=x²-2x+2,移项化为(y-1)x²-(y-2)x+(y-2)=0.这是形式上的关于x的二次方程.

①当y-1=0,即y=1时.这是x的一次方程,x=1.

∵x=1是函数y=定义域中的一个值,

∴y=1是它值域中的一个值.

②当y-1≠0时,∵x∈R,即对这个x的二次方程有实解,∴Δ=(y-2)²-4(y-1)(y-2)≥0,即(y-2)(-3y+2)≥0.(y-2)(y-)≤0,

∴≤y≤2.综合①②知≤y≤2,即≤≤2.