Question

8．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．
（1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=3$，求cos∠AOC的值；
（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=3$，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值；
（2）若A，B，C三点共线，可得$cosθ=\frac{3}{4}$，利用余弦定理，即可求线段AC的长．

解答 解：（1）设∠AOC=θ，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$（2分）∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=（{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}}）•（{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}}）={\overrightarrow{AO}^2}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$
=4+1×2×cos（π-2θ）+1×2×cos（π-θ）+cosθ
=-4cos²θ-cosθ+6（2分）
∴-4cos²θ-cosθ+6=3，∴$cosθ=\frac{3}{4}，cosθ=-1$（舍去）（3分）
（2）A，B，C三点共线，
所以$\frac{cos2θ-2}{cosθ-2}=\frac{sin2θ}{sinθ}$（2分）∴$cosθ=\frac{3}{4}$（1分）
∴AC²=1+4-2×1×2×cosθ=2，∴$|{AC}|=\sqrt{2}$（2分）．

点评 本题考查向量的运算，考查余弦定理的运用，属于中档题．