Question

【题目】若函数为定义域上的单调函数，且存在区间(其中，使得当时，的取值范围恰为,则称函数是上的正函数，区间叫做函数的等域区间．

（1）已知是上的正函数,求的等域区间；

（2）试探求是否存在，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）是[0，+∞）上的正函数，然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间；
（2）根据函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程在上有解即可.

详解：（1）在[0,+∞)上单调递增，

所以当x∈[a,b]时，

即

解得a=0，b=1，

故函数f(x)的“等域区间”为[0,1]；

（2）假设存在，使得函数是上的正函数，且此时函数在上单调递减,

存在使得： （*）

两式相减得，

代入上式：即关于的方程 在上有解,

方法①参变分离：即,

令，所以

实数的取值范围为 ,

方法②实根分布：令，即函数的图像在内与轴有交点，

，解得,

方法③ ：（*）式等价于方程在上有两个不相等的实根 ,

, .