题目内容
设整数n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记An 为满足a-b=3 的点P 的个数，求An；
（2）记Bn 为满足
是整数的点P 的个数，求Bn．
【答案】分析：（1）An 为满足a-b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与An中元素个数有关，直接写出An的表达式即可．
（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，讨论fn（k）≥1的情形，推出fn（k）=n-3k，根据k的范围
，说明n-1是3的倍数和余数，
然后求出Bn．
解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a-3≤n-3，所以An=n-3；
（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，只要讨论fn（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知fn（k）=n-3k且
，设n-1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以
Bn=
=
=mn-
=
将m=
代入上式，化简得Bn=
所以Bn=
点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．
（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，讨论fn（k）≥1的情形，推出fn（k）=n-3k，根据k的范围
，说明n-1是3的倍数和余数，然后求出Bn．
解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a-3≤n-3，所以An=n-3；
（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，只要讨论fn（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知fn（k）=n-3k且
，设n-1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以Bn=
==mn-=将m=
代入上式，化简得Bn=所以Bn=
点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．
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