Question

设整数n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）记A_n 为满足a-b=3 的点P 的个数，求A_n；
（2）记B_n 为满足

1

3

(a-b) 是整数的点P 的个数，求B_n．

Answer 1

分析：（1）A_n 为满足a-b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A_n中元素个数有关，直接写出A_n的表达式即可．
（2）设k为正整数，记f_n（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，讨论f_n（k）≥1的情形，推出f_n（k）=n-3k，根据k的范围k ≤

n-1

3

，说明n-1是3的倍数和余数，
然后求出B_n．

解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a-3≤n-3，所以A_n=n-3；
（2）设k为正整数，记f_n（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，只要讨论f_n（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知f_n（k）=n-3k且k ≤

n-1

3

，设n-1=3m+r，其中m∈N⁺，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以
B_n=

m

k=1

fn(k)=

m

k=1

(n-3k)=mn-

3m(m+1)

2

=

m(2n-3m-3)

2

将m=

n-1-r

3

代入上式，化简得B_n=

(n-1)(n-2)

6

-

r(r-1)

6

所以B_n=

n(n-3) 6 n 3 是整数 (n-1)(n-2) 6 n 3 不是整数

点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．